9. Понятие неопределённого интеграла. Формула интегрирования по частям.

Первообразная и неопределённый интеграл

Пусть функция $f(x)$ определена на некотором промежутке.

Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$, если

$$F'(x) = f(x)$$

для всех $x$ из рассматриваемого промежутка.

Первообразная определяется неоднозначно. Если $F(x)$ — первообразная $f(x)$, то функция $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная, также является первообразной, так как

$$(F(x) + C)' = F'(x) = f(x).$$

Более того, любые две первообразные одной функции отличаются друг от друга на постоянную.

доказательство:
Пусть $F$ и $G$ — первообразные $f$. Тогда $(F - G)' = F' - G' = f - f = 0$. По следствию из теоремы Лагранжа, если производная равна нулю на промежутке, то функция постоянна. Значит, $F - G = C$.

Совокупность всех первообразных функции $f(x)$ называется неопределённым интегралом и обозначается

$$\int f(x) \, dx.$$

Таким образом,

$$\int f(x) \, dx = F(x) + C,$$

где $F'(x) = f(x)$, а $C$ — произвольная постоянная.

Основные свойства неопределённого интеграла

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ имеют первообразные.

1. Линейность:
   Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

   $$\int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx.$$

   Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

   $$\int k f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx,$$

   где $k$ — постоянное число.

2. Обратность дифференцированию:
   Интегрирование является операцией, обратной дифференцированию:

   $$\left( \int f(x) \, dx \right)' = f(x).$$

Формула интегрирования по частям

Формула интегрирования по частям выводится из правила дифференцирования произведения:

$$(uv)' = u'v + uv'.$$

Запишем это равенство в дифференциальной форме:

$$d(uv) = v \, du + u \, dv.$$

Проинтегрируем обе части:

$$uv = \int v \, du + \int u \, dv.$$

Отсюда получаем формулу интегрирования по частям:

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du.$$

Эта формула позволяет свести вычисление интеграла $\int u \, dv$ к вычислению интеграла $\int v \, du$, который может оказаться более простым. Обычно её применяют, когда подынтегральное выражение представляет собой произведение двух сомножителей, один из которых удобно взять за $u$ (дифференцирование упрощает его), а другой — за $dv$ (интегрирование которого не усложняет результат).