8. Производная функции. Непрерывность дифференцируемой функции

Определение производной

Пусть функция $f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$. Придадим аргументу приращение $\Delta x = x - x_0$. Тогда приращение функции равно

$$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0).$$

Производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при $\Delta x \to 0$:

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}.$$

Если этот предел существует и является конечным, то функция называется дифференцируемой в точке $x_0$.

Геометрический смысл производной

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции:

$$f'(x_0) = \tan \alpha,$$

где $\alpha$ — угол наклона касательной к положительному направлению оси $Ox$.

Уравнение касательной к графику функции в точке $(x_0, f(x_0))$ имеет вид

$$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0).$$

Основные свойства дифференцирования

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы. Тогда:

• $(C)' = 0$, где $C$ — постоянная;
• $(Cf)' = C f'$;
• $(f + g)' = f' + g'$;
• $(f - g)' = f' - g'$;
• $(fg)' = f'g + fg'$;
• $\left( \dfrac{f}{g} \right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}, \quad g \neq 0$;
• для сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \, g'(x)$.

Вывод формулы производной произведения

Рассмотрим $F(x) = f(x)g(x)$. По определению:

$$F'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)g(x + \Delta x) - f(x)g(x)}{\Delta x}.$$

Добавим и вычтем $f(x + \Delta x)g(x)$:

$$F'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)g(x + \Delta x) - f(x + \Delta x)g(x) + f(x + \Delta x)g(x) - f(x)g(x)}{\Delta x}.$$

Сгруппируем:

$$F'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left( f(x + \Delta x) \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} + g(x) \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \right).$$

Так как дифференцируемая функция непрерывна, $\lim_{\Delta x \to 0} f(x + \Delta x) = f(x)$. Следовательно,

$$F'(x) = f(x)g'(x) + g(x)f'(x).$$

Итак,

$$(fg)' = f'g + fg'.$$

Вывод формулы производной сложной функции

Пусть $y = f(u)$, а $u = g(x)$. Тогда сложная функция имеет вид $y = f(g(x))$. При изменении аргумента $x$ возникает приращение $\Delta x$, которому соответствуют приращения $\Delta u$ и $\Delta y$.

Запишем отношение:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}.$$

При $\Delta x \to 0$ из непрерывности $g(x)$ следует $\Delta u \to 0$. Переходя к пределу, получаем:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.$$

Следовательно,

$$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \, g'(x).$$

Непрерывность дифференцируемой функции

Теорема. Если функция дифференцируема в точке $x_0$, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Так как функция дифференцируема, существует конечный предел

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = f'(x_0).$$

Представим приращение функции в виде

$$\Delta f = \frac{\Delta f}{\Delta x} \Delta x.$$

Переходя к пределу при $\Delta x \to 0$, получаем

$$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta f = f'(x_0) \cdot 0 = 0.$$

Следовательно,

$$\lim_{\Delta x \to 0} (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) = 0,$$

откуда

$$\lim_{\Delta x \to 0} f(x_0 + \Delta x) = f(x_0).$$

Значит, функция непрерывна в точке $x_0$.