15. Уравнения с разделяющимися переменными

Определение

Уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{M(x, y)}{N(x, y)},$$

называется уравнением с разделяющимися переменными, если функции $M$ и $N$ можно представить в виде:

$$M(x, y) = M_1(x) M_2(y), \qquad N(x, y) = N_1(x) N_2(y).$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\frac{dy}{dx} = \frac{M_1(x) M_2(y)}{N_1(x) N_2(y)}.$$

---

Приведение к разделённому виду и общий интеграл

При условии, что $N_1(x) \neq 0$ и $M_2(y) \neq 0$, можно разделить переменные:

$$\frac{M_1(x)}{N_1(x)}\,dx = \frac{N_2(y)}{M_2(y)}\,dy.$$

Интегрируя, получаем общий интеграл (решение в неявной форме):

$$\int \frac{M_1(x)}{N_1(x)}\,dx - \int \frac{N_2(y)}{M_2(y)}\,dy = C,$$

где $C$ — произвольная постоянная.

Часто уравнение записывают в виде

$$y' = f_1(x) f_2(y),$$

где $f_1(x) = \frac{M_1(x)}{N_1(x)}$, $\; f_2(y) = \frac{M_2(y)}{N_2(y)}$.

---

Теорема о существовании и единственности

Пусть функции $f_1(x)$ и $f_2(y)$ непрерывны в области $R = (a, b) \times (c, d)$ и $f_2(y) \neq 0$ во всей области. Тогда через каждую точку $(x_0, y_0) \in R$ проходит единственное решение уравнения $y' = f_1(x) f_2(y)$.

Это решение задаётся формулой

$$\int_{x_0}^x f_1(s)\,ds = \int_{y_0}^y \frac{dt}{f_2(t)}.$$

---

Критерий особого решения

При приведении к разделённому виду мы делим на $M_2(y)$. Поэтому могут быть потеряны постоянные решения $y\equiv\eta$, где $M_2(\eta)=0.$

Решение $y=\eta$ рассматривается на тех промежутках, на которых $N_1(x)\neq0$, поскольку в точках $N_1(x)=0$ правая часть исходного уравнения не определена.

Выясним, при каких условиях решение $y\equiv\eta$ является особым. Возьмём произвольную опорную точку

$$(x_0,y_0)\in R, \qquad y_0\neq\eta,$$

и запишем общий интеграл с переменными верхними пределами:

$$\int_{x_0}^{x} \frac{M_1(s)}{N_1(s)}ds - \int_{y_0}^{y} \frac{N_2(t)}{M_2(t)}dt = C$$

При этом интегральная кривая, проходящая через точку $(x_0,y_0)$, соответствует значению $C=0$.

Обозначим левую часть равенства через

$$\psi(x,y) = \int_{x_0}^{x} \frac{M_1(s)}{N_1(s)}ds - \int_{y_0}^{y} \frac{N_2(t)}{M_2(t)}dt$$

Рассмотрим поведение функции $\psi(x,y)$ при приближении $y$ к значению $\eta$.

Случай 1: интеграл расходится

Пусть

$$\lim_{y\to\eta} \int_{y_0}^{y} \frac{N_2(t)}{M_2(t)}dt = +\infty$$

или

$$\lim_{y\to\eta} \int_{y_0}^{y} \frac{N_2(t)}{M_2(t)}dt = -\infty.$$

Тогда при фиксированном конечном $x$ величина $\psi(x,y)$ также стремится к бесконечности с соответствующим знаком.

Следовательно, решение $y\equiv\eta$ входит в формулу общего интеграла как предельный случай при бесконечном значении постоянной: $C\to+\infty$ или $C\to-\infty$. Такое решение является частным.

---

Случай 2: интеграл сходится

Пусть

$$\lim_{y\to\eta} \int_{y_0}^{y} \frac{N_2(t)}{M_2(t)}dt = A,$$

где $A$ — конечное число.

Возьмём произвольную точку $x_1,\eta$ постоянного решения $y=\eta$. При $y\to\eta, x\to x_1$ из формулы (2) получаем

$$\psi(x,y) \longrightarrow \int_{x_0}^{x_1} \frac{M_1(s)}{N_1(s)}ds-A.$$

Обозначим это значение через

$$C(x_1) = \int_{x_0}^{x_1} \frac{M_1(s)}{N_1(s)}ds-A.$$

Полученное значение в общем случае зависит от выбранной точки $x_1$. Следовательно, различным точкам прямой $y=\eta$ соответствуют различные значения $C$.

Но одна интегральная кривая общего семейства должна определяться одним и тем же постоянным значением $C$. Поэтому невозможно подобрать одно фиксированное значение $C$, конечное или бесконечное, которое давало бы всю прямую $y=\eta.$ Значит, постоянное решение $y\equiv\eta$ не входит в общий интеграл ни при каком значении произвольной постоянной и является особым решением.

Аналогичные рассуждения проводятся для вертикальной интегральной кривой

$$x\equiv\xi, \qquad N_1(\xi)=0.$$

При этом $x=\xi$ рассматривается как решение уравнения, перевёрнутого к исходному:

$$\frac{dx}{dy} \frac{N(x,y)}{M(x,y)}.$$