6. Собственные числа и собственные векторы матриц.

Определение

Пусть $A$ — квадратная матрица порядка $n$, соответствующая линейному оператору в $n$-мерном пространстве.

Ненулевой вектор $x$ называется собственным вектором матрицы $A$, если после умножения на матрицу он изменяется только по длине или направлению, то есть

$$Ax = \lambda x,$$

где число $\lambda$ называется собственным числом матрицы $A$.

Условие $x \neq 0$ является обязательным, поскольку нулевой вектор удовлетворял бы равенству при любом $\lambda$.

Характеристическое уравнение

Равенство $Ax = \lambda x$ можно записать в виде

$$Ax - \lambda x = 0,$$

или

$$(A - \lambda E)x = 0,$$

где $E$ — единичная матрица.

Это однородная система линейных уравнений. Она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда матрица $A - \lambda E$ вырождена:

$$\det(A - \lambda E) = 0.$$

Уравнение

$$\det(A - \lambda E) = 0$$

называется характеристическим уравнением матрицы, а многочлен

$$p(\lambda) = \det(A - \lambda E)$$

— её характеристическим многочленом.

Корни характеристического уравнения являются собственными числами матрицы.

Собственные подпространства

После нахождения собственного числа $\lambda$ соответствующие собственные векторы определяются из системы

$$(A - \lambda E)x = 0.$$

Все собственные векторы, соответствующие одному собственному числу, вместе с нулевым вектором образуют линейное подпространство:

$$V_\lambda = \ker(A - \lambda E).$$

Оно называется собственным подпространством.

Основные свойства

1. Собственные числа существуют только у квадратных матриц.

2. Собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, линейно независимы.

3. Сумма собственных чисел с учётом их кратности равна следу матрицы:

$$\lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_n = \operatorname{tr} A.$$

4. Произведение собственных чисел равно определителю матрицы:

$$\lambda_1 \lambda_2 \dots \lambda_n = \det A.$$

5. Матрица обратима тогда и только тогда, когда число $0$ не является её собственным числом.

Диагонализация матрицы

Если матрица имеет $n$ линейно независимых собственных векторов, то её можно привести к диагональному виду:

$$A = PDP^{-1},$$

где столбцы матрицы $P$ являются собственными векторами, а на диагонали матрицы $D$ расположены соответствующие собственные числа.