16. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами

##Определения

Линейным дифференциальным уравнением $n$-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

$$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \dots + a_1 y' + a_0 y = f(x),$$

где $a_0, a_1, \dots, a_n$ — постоянные числа, $a_n \neq 0$, а $f(x)$ — заданная функция (обычно непрерывная на некотором интервале).

• Если $f(x) \equiv 0$, уравнение называется однородным:

$$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \dots + a_1 y' + a_0 y = 0.$$

• Если $f(x) \not\equiv 0$, уравнение называется неоднородным.

Для сокращения записи вводят линейный дифференциальный оператор

$$L = a_n \frac{d^n}{dx^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} + \dots + a_1 \frac{d}{dx} + a_0.$$

Тогда уравнение записывается как $L[y] = f(x)$.

---

Структура общего решения неоднородного уравнения

Общее решение неоднородного линейного уравнения имеет вид

$$y(x) = y_{\text{одн}}(x) + y_{\text{част}}(x),$$

где $y_{\text{одн}}$ — общее решение соответствующего однородного уравнения ($L[y]=0$), а $y_{\text{част}}$ — какое-либо частное решение неоднородного уравнения ($L[y_{\text{част}}] = f(x)$).

Это следует из линейности оператора $L$: если $L[y_{\text{одн}}] = 0$ и $L[y_{\text{част}}] = f(x)$, то

$$L[y_{\text{одн}} + y_{\text{част}}] = L[y_{\text{одн}}] + L[y_{\text{част}}] = f(x).$$

Кроме того, разность любых двух решений неоднородного уравнения всегда является решением однородного уравнения.

---

Решение однородного уравнения

Решение однородного уравнения ищется в виде экспоненты $y = e^{\lambda x}$. Подстановка даёт характеристическое уравнение:

$$a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \dots + a_1 \lambda + a_0 = 0.$$

Вид общего решения зависит от корней этого уравнения (считаем, что все коэффициенты вещественны).

1. Все корни действительные и различные

Если характеристическое уравнение имеет $n$ различных действительных корней $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$, то

$$y_{\text{одн}} = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x} + \dots + C_n e^{\lambda_n x}.$$

2. Действительный корень кратности $m$

Если $\lambda$ — действительный корень кратности $m$, то ему соответствует $m$ линейно независимых решений:

$$e^{\lambda x}, \; x e^{\lambda x}, \; x^2 e^{\lambda x}, \; \dots, \; x^{m-1} e^{\lambda x}.$$

3. Комплексные корни

Если среди корней есть комплексно-сопряжённая пара $\lambda = \alpha \pm i\beta$ (кратности 1), то им соответствуют два действительных решения:

$$e^{\alpha x} \cos(\beta x), \qquad e^{\alpha x} \sin(\beta x).$$

Если такая пара имеет кратность $m$, то каждое из этих решений умножается на $1, x, \dots, x^{m-1}$.

В общем решении суммарное число произвольных постоянных должно равняться $n$ (порядку уравнения).

---

Частное решение неоднородного уравнения (метод неопределённых коэффициентов)

Для уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида частное решение можно найти методом неопределённых коэффициентов.

Правая часть вида $f(x) = e^{\alpha x} P_s(x)$

Здесь $P_s(x)$ — многочлен степени $s$. Частное решение ищут в виде

$$y_{\text{част}} = x^r e^{\alpha x} Q_s(x),$$

где $Q_s(x)$ — многочлен степени $s$ с неизвестными коэффициентами, а $r$ — кратность числа $\alpha$ как корня характеристического уравнения (если $\alpha$ не является корнем, то $r=0$).

Правая часть вида $f(x) = e^{\alpha x} \bigl( P(x) \cos \beta x + Q(x) \sin \beta x \bigr)$

Здесь $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены. Частное решение ищут в аналогичной форме:

$$y_{\text{част}} = x^r e^{\alpha x} \bigl( R(x) \cos \beta x + S(x) \sin \beta x \bigr),$$

где $R(x)$ и $S(x)$ — многочлены, степень которых равна максимальной из степеней $P$ и $Q$. Множитель $x^r$ вводится, если число $\alpha + i\beta$ является корнем характеристического уравнения кратности $r$ (если не является, то $r=0$).

После подстановки в уравнение коэффициенты многочленов $R$ и $S$ находятся из системы линейных уравнений.