7. Непрерывные функции. Определение, свойства.

Определение непрерывности

Пусть функция $f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$.

Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если существует предел функции при $x \to x_0$, и он равен значению функции в этой точке:

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).$$

Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция называется непрерывной на отрезке $[a, b]$, если она непрерывна во всех внутренних точках $(a, b)$, непрерывна справа в точке $a$ и непрерывна слева в точке $b$:

$$\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a),$$ $$\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b).$$

Основные свойства непрерывных функций в точке

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны в точке $x_0$. Тогда:

1. Их сумма и разность также непрерывны:

$$f(x) + g(x), \quad f(x) - g(x).$$

2. Произведение непрерывных функций непрерывно:

$$f(x) g(x).$$

3. Частное непрерывных функций $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ непрерывно при условии $g(x_0) \neq 0$.

4. Умножение функции на постоянное число сохраняет непрерывность:

$$C f(x).$$

5. Композиция непрерывных функций также является непрерывной. Если функция $g(x)$ непрерывна в точке $x_0$, а функция $f(y)$ непрерывна в точке $y_0 = g(x_0)$, то функция

$$f(g(x))$$

непрерывна в точке $x_0$.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Если функция непрерывна на отрезке $[a, b]$, то выполняются следующие теоремы.

Первая теорема Вейерштрасса.
Непрерывная на отрезке функция ограничена: существует число $M > 0$, такое что

$$|f(x)| \leq M$$

для всех $x \in [a, b]$.

Вторая теорема Вейерштрасса.
Непрерывная на отрезке функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений.
То есть существуют точки $x_{\text{min}}$ и $x_{\text{max}}$, для которых

$$f(x_{\text{min}}) \leq f(x) \leq f(x_{\text{max}})$$

для всех $x \in [a, b]$.

Теорема Больцано — Коши.
Если функция непрерывна на отрезке $[a, b]$, то она принимает все промежуточные значения между $f(a)$ и $f(b)$.
В частности, если

f(a) f(b) < 0,

то существует точка $c \in (a, b)$, такая что

$$f(c) = 0.$$