18. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Фундаментальная система решений.

1. Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим уравнение вида
$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = 0,$
где $a_0, a_1, \ldots, a_n$ — постоянные числа, $a_n \neq 0$.

Левая часть представляет собой линейный дифференциальный оператор
$L[y] = a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y.$

2. Свойства решений (линейность)

Если $y_1$ и $y_2$ — решения уравнения, а $C_1, C_2$ — постоянные, то функция
$y = C_1 y_1 + C_2 y_2$
также является решением, поскольку
$L[C_1 y_1 + C_2 y_2] = C_1 L[y_1] + C_2 L[y_2] = 0.$

Следовательно, множество решений линейного однородного уравнения образует линейное пространство. Для уравнения $n$-го порядка это пространство имеет размерность $n$.

---

3. Фундаментальная система решений (ФСР)

Система из $n$ решений
$y_1(x), y_2(x), \ldots, y_n(x)$
называется фундаментальной системой решений на интервале $(\alpha; \beta)$, если эти решения линейно независимы на этом интервале.

Линейная независимость означает, что из тождества
$C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) + \cdots + C_n y_n(x) = 0 \quad \forall x \in (\alpha; \beta)$
следует
$C_1 = C_2 = \cdots = C_n = 0.$

---

4. Определитель Вронского (вронскиан) для решений

Для набора из $n$ решений $y_1, \dots, y_n$ (имеющих производные до порядка $n-1$) определитель Вронского определяется как

$$W(y_1, \ldots, y_n)(x) = \begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x) & \cdots & y_n(x) \\ y_1'(x) & y_2'(x) & \cdots & y_n'(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_1^{(n-1)}(x) & y_2^{(n-1)}(x) & \cdots & y_n^{(n-1)}(x) \end{vmatrix}.$$

Для краткости будем обозначать $W(x)$.

---

5. Теоремы о вронскиане для решений ЛОДУ

Теорема 1 (общее свойство). Если функции $u_1(x), \dots, u_p(x)$ линейно зависимы на интервале $(\alpha; \beta)$, то их определитель Вронского тождественно равен нулю на этом интервале.

Теорема 2 (для решений). Если на интервале $(\alpha; \beta)$ найдётся хотя бы одна точка $x_0$, для которой
$W(x_0) = 0,$
то $W(x) \equiv 0$ на всём интервале $(\alpha; \beta)$, а набор решений $y_1, \dots, y_n$ линейно зависим на этом интервале.

Теорема 3 (формула Остроградского–Лиувилля). Для произвольной точки $x_0 \in (\alpha; \beta)$ справедлива формула

$$W(x) = W(x_0) \exp\left(-\int_{x_0}^{x} p_1(s) \, ds\right),$$

где $p_1(x)$ — коэффициент при $y^{(n-1)}$ в уравнении, записанном в стандартной форме
$y^{(n)} + p_1(x) y^{(n-1)} + \cdots + p_n(x) y = 0.$
(Для уравнения с постоянными коэффициентами $p_1 = a_{n-1}/a_n$ — постоянная.)

---

6. Следствия из теорем

Для решений одного линейного однородного дифференциального уравнения $n$-го порядка с непрерывными коэффициентами (в частности, с постоянными) справедливо:

1. Вронскиан либо тождественно равен нулю на всём интервале $(\alpha; \beta)$, либо не обращается в ноль ни в одной точке этого интервала.

2. Тождественное равенство $W(x) \equiv 0$ на $(\alpha; \beta)$ равносильно линейной зависимости набора решений $y_1, \dots, y_n$ на этом интервале.

3. Отличие от нуля $W(x) \neq 0$ хотя бы в одной точке (а значит, и во всех) равносильно линейной независимости набора решений.

Таким образом, критерий ФСР:
Набор из $n$ решений образует фундаментальную систему тогда и только тогда, когда
$W(y_1, \dots, y_n)(x_0) \neq 0$
для некоторой (а значит, и для любой) точки $x_0 \in (\alpha; \beta)$.

---

7. Общее решение уравнения (теорема 7)

Если функции $y_1(x), y_2(x), \dots, y_n(x)$ образуют фундаментальную систему решений уравнения на интервале $(\alpha; \beta)$, то формула
$y = \sum_{s=1}^n C_s y_s(x),$
где $C_s$ — произвольные постоянные, определяет общее решение уравнения на множестве
R = \left\{ x \in (\alpha; \beta) \;\middle|\; |y| < \infty,\; |y'| < \infty,\; \ldots,\; |y^{(n-1)}| < \infty \right\}.