14. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную $x$ , неизвестную функцию $y(x)$ и её первую производную $y'(x)$ :

F(x, y, y') = 0.

Порядок уравнения определяется старшей производной, входящей в него. Так как присутствует только первая производная, это уравнение первого порядка.

Если уравнение можно разрешить относительно $y'$ , его записывают в нормальной форме (или форме, разрешённой относительно производной):

y' = f(x, y).

Решение дифференциального уравнения

Решением уравнения первого порядка на промежутке $I$ называется функция $y = \varphi(x)$ , которая:

определена и дифференцируема на $I$ ;
при подстановке $y = \varphi(x)$ и $y' = \varphi'(x)$ обращает уравнение в тождество для всех $x \in I$ .

Для нормальной формы $y' = f(x, y)$ это означает:

\varphi'(x) = f(x, \varphi(x)) \quad \forall x \in I.

Для общего вида $F(x, y, y')=0$ :

F(x, \varphi(x), \varphi'(x)) \equiv 0.

Формы записи уравнения первого порядка

Помимо нормальной формы, используются и другие равноправные записи.

Перевёрнутое уравнение. Если $f(x, y) \neq 0$ , то можно записать

\frac{dx}{dy} = \frac{1}{f(x, y)}.

Уравнение в дифференциалах. Общий вид:

M(x, y)\,dx + N(x, y)\,dy = 0.

Частным случаем является

dy - f(x, y)\,dx = 0.

Здесь переменные $x$ и $y$ входят равноправно, и любую из них можно считать аргументом.

Симметрическая форма:

\frac{dx}{M(x, y)} = \frac{dy}{N(x, y)}.

Общее и частное решения

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется семейство функций, зависящее от одной произвольной постоянной $C$ :

y = \varphi(x, C).

При различных значениях $C$ получаются различные решения. Количество произвольных постоянных обычно равно порядку уравнения, поэтому для первого порядка — одна постоянная.

Частное решение получается из общего при фиксированном значении $C = C_0$ :

y = \varphi(x, C_0).

Явная, неявная и параметрическая формы решения

Явная форма: $y = \varphi(x)$ .
Неявная форма: решение задаётся в виде $\psi(x, y) = 0$
Параметрическая форма: $x = \varphi(t), \; y = \psi(t)$ , причём на некотором интервале выполняется

\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} \equiv f(\varphi(t), \psi(t)).

Чтобы убедиться, что неявное соотношение $\psi(x, y) = 0$ действительно является решением уравнения, записанного в нормальной форме, нужно продифференцировать $\psi$ полным образом по $x$ и подставить $y' = f(x, y)$ :

\frac{\partial \psi}{\partial x} + \frac{\partial \psi}{\partial y} f(x, y) = 0.

Если это равенство выполняется в силу $\psi(x, y) = 0$ , то неявная форма задаёт решение.

Интегральная кривая

График решения $y = \varphi(x)$ на плоскости называется интегральной кривой дифференциального уравнения.

Общему решению соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от параметра $C$ . В каждой точке $(x, y)$ значение $f(x, y)$ определяет угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку.

Особые решения

При некоторых условиях уравнение может иметь решения, которые не получаются из общего решения ни при каких значениях постоянной $C$ (включая бесконечность). Такие решения называются особыми. Они не входят в общее решение и требуют отдельного рассмотрения.