12. Определённый интеграл. Сумма Римана. Свойства определённого интеграла.

1. Разбиение отрезка

Пусть функция $f(x)$ задана на отрезке $[a, b]$. Разобьём этот отрезок точками

a = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = b.

Такое множество точек называется разбиением отрезка $[a, b]$. Длины частичных отрезков:

$$\Delta x_i = x_i - x_{i-1}.$$

Наибольшая из длин

$$\lambda = \max_{1 \le i \le n} \Delta x_i$$

называется диаметром разбиения.

На каждом отрезке $[x_{i-1}, x_i]$ выберем произвольную точку $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$.

2. Сумма Римана

Сумма вида

$$\sigma = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i$$

называется интегральной суммой (или суммой Римана) функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$. Она зависит от способа разбиения и выбора точек $\xi_i$.

3. Определённый интеграл

Число $I$ называется определённым интегралом функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$, если при стремлении диаметра разбиения к нулю суммы Римана стремятся к одному и тому же пределу (независимо от разбиения и выбора $\xi_i$):

$$\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i = I.$$

Обозначение:

$$I = \int_a^b f(x) \, dx.$$

Здесь:

• $a$ — нижний предел,
• $b$ — верхний предел,
• $f(x)$ — подынтегральная функция,
• $dx$ — переменная интегрирования.

Функция $f(x)$ называется интегрируемой по Риману на $[a, b]$. Любая функция, непрерывная на $[a, b]$, интегрируема на этом отрезке.

Основные свойства определённого интеграла

1. Интеграл с одинаковыми пределами

$$\int_a^a f(x) \, dx = 0.$$

2. Перестановка пределов

При перестановке пределов интегрирования знак меняется:

$$\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx.$$

3. Линейность

Для любых чисел $\alpha, \beta$:

$$\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \, dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx.$$

В частности:

• $\displaystyle \int_a^b (f(x) + g(x)) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx$;
• $\displaystyle \int_a^b \alpha f(x) \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \, dx$.

4. Аддитивность по промежутку

Для любой точки $c \in [a, b]$:

$$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx.$$

5. Сохранение знака

Если $f(x) \ge 0$ на $[a, b]$, то $\displaystyle \int_a^b f(x) \, dx \ge 0$.
Если $f(x) \le 0$ на $[a, b]$, то $\displaystyle \int_a^b f(x) \, dx \le 0$.

6. Монотонность

Если $f(x) \le g(x)$ для всех $x \in [a, b]$, то

$$\int_a^b f(x) \, dx \le \int_a^b g(x) \, dx.$$

7. Оценка интеграла

Если $m \le f(x) \le M$ на $[a, b]$, то

$$m(b - a) \le \int_a^b f(x) \, dx \le M(b - a).$$

8. Оценка модуля интеграла

$$\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \le \int_a^b |f(x)| \, dx.$$

9. Теорема о среднем

Если $f(x)$ непрерывна на $[a, b]$, то существует точка $c \in [a, b]$ такая, что

$$\int_a^b f(x) \, dx = f(c) (b - a).$$

Число

$$\frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \, dx$$

называется средним значением функции на отрезке $[a, b]$.