13. Выпуклость и вогнутость функции. Условия выпуклости и вогнутости

Определения

Пусть функция $f(x)$ определена на промежутке $I$.

Функция называется выпуклой на $I$, если для любых $x_1, x_2 \in I$ и любого $\lambda \in [0,1]$ выполняется неравенство

$$f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \le \lambda f(x_1) + (1-\lambda) f(x_2).$$

Геометрически это означает, что график функции расположен не выше хорды, соединяющей любые две его точки.

Вогнутой функция называется, если

$$f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \ge \lambda f(x_1) + (1-\lambda) f(x_2).$$

В этом случае график расположен не ниже хорды.

Если при $x_1 \ne x_2$ и 0 < \lambda < 1 неравенство строгое, то функция называется строго выпуклой (или строго вогнутой).

---

Условие выпуклости через первую производную

Пусть $f$ дифференцируема на промежутке $I$.

• $f$ выпукла вниз $\iff$ её производная $f'(x)$ не убывает на $I$:

x_1 < x_2 \implies f'(x_1) \le f'(x_2).

• $f$ вогнута $\iff$ её производная не возрастает:

x_1 < x_2 \implies f'(x_1) \ge f'(x_2).

Таким образом, у выпуклой функции угловой коэффициент касательной увеличивается, у вогнутой — уменьшается.

Для дифференцируемой выпуклой функции график лежит не ниже любой своей касательной:

$$f(x) \ge f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0).$$

Для вогнутой — не выше:

$$f(x) \le f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0).$$

---

Условие выпуклости через вторую производную

Пусть $f$ дважды дифференцируема на $I$.

• Если $f''(x) \ge 0$ для всех $x \in I$, то $f$ выпукла вниз.
• Если $f''(x) \le 0$ для всех $x \in I$, то $f$ вогнута.

Это следует из того, что $f'' \ge 0$ означает неубывание $f'$, что по предыдущему критерию равносильно выпуклости.

---

Доказательство критерия (монотонность производной $\iff$ выпуклость)

Теорема. Дифференцируемая функция $f$ выпукла вниз на промежутке $I$ тогда и только тогда, когда $f'(x)$ не убывает на $I$.

1. Если $f'$ не убывает, то $f$ выпукла

Возьмём x_1 < z < x_2. По теореме Лагранжа на $[x_1, z]$ существует $\xi_1 \in (x_1, z)$:

$$\frac{f(z) - f(x_1)}{z - x_1} = f'(\xi_1).$$

На $[z, x_2]$ существует $\xi_2 \in (z, x_2)$:

$$\frac{f(x_2) - f(z)}{x_2 - z} = f'(\xi_2).$$

Так как \xi_1 < \xi_2 и $f'$ не убывает, то $f'(\xi_1) \le f'(\xi_2)$. Следовательно,

$$\frac{f(z) - f(x_1)}{z - x_1} \le \frac{f(x_2) - f(z)}{x_2 - z}.$$

Умножая на положительное $(z-x_1)(x_2-z)$ и преобразуя, получаем

$$f(z) \le \frac{x_2 - z}{x_2 - x_1} f(x_1) + \frac{z - x_1}{x_2 - x_1} f(x_2).$$

Полагая $\lambda = \frac{z - x_1}{x_2 - x_1}$, имеем 0<\lambda<1 и $z = (1-\lambda)x_1 + \lambda x_2$. Тогда

$$f((1-\lambda)x_1 + \lambda x_2) \le (1-\lambda) f(x_1) + \lambda f(x_2),$$

что и есть определение выпуклости.

2. Если $f$ выпукла, то $f'$ не убывает

Возьмём x_1 < z < x_2. Из выпуклости следует

$$\frac{f(z) - f(x_1)}{z - x_1} \le \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}.$$

Устремляя $z \to x_1+$, получаем

$$f'(x_1) \le \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}.$$

Аналогично, из выпуклости:

$$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \le \frac{f(x_2) - f(z)}{x_2 - z}.$$

Устремляя $z \to x_2-$, имеем

$$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \le f'(x_2).$$

Объединяя, получаем

$$f'(x_1) \le \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \le f'(x_2),$$

значит, $f'(x_1) \le f'(x_2)$. Следовательно, производная не убывает.

---

Точка перегиба

Точка перегиба — это точка $x_0$, при переходе через которую направление выпуклости меняется (выпуклость сменяется вогнутостью или наоборот).

Необходимое условие для дважды дифференцируемой функции:

$$f''(x_0) = 0,$$

однако это условие не является достаточным. Для наличия перегиба необходимо, чтобы $f''(x)$ меняла знак при переходе через $x_0$. Например, если $f''(x) > 0$ слева от $x_0$ и f''(x) < 0 справа, то выпуклость переходит в вогнутость.