4. Определитель матрицы. Элементарные свойства

Определение определителя

Для квадратной матрицы $A = (a_{ij})$ размера $n \times n$ её определитель $\det A$ вычисляется по формуле:

$$\det A = \sum_{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n} (-1)^{inv(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)} a_{1\alpha_1} a_{2\alpha_2} \cdots a_{n\alpha_n},$$

где суммирование производится по всем перестановкам $(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$ чисел $1, 2, \dots, n$, а $inv(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$ обозначает число инверсий в этой перестановке.

Множитель $(-1)^{\operatorname{inv}}$ равен $+1$ для чётной перестановки и $-1$ для нечётной.

---

Основные свойства определителей

Ниже перечислены важнейшие свойства определителя, которые следуют из его определения.

1. Транспонирование

Определитель не меняется при транспонировании матрицы:

$$\det A^T = \det A.$$

2. Линейность по строке

Если все элементы некоторой строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых эта строка заменена соответственно первыми и вторыми слагаемыми, а остальные строки остаются без изменений.

Например, для $i$-й строки:

$$\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} + b_{i1} & \cdots & a_{in} + b_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{i1} & \cdots & b_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}.$$

3. Вынос общего множителя строки

Если все элементы некоторой строки определителя имеют общий множитель $\lambda$, то этот множитель можно вынести за знак определителя:

$$\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda a_{i1} & \cdots & \lambda a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \lambda \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}.$$

4. Перестановка строк

Если в матрице поменять местами две строки, то её определитель меняет знак на противоположный.

5. Две одинаковые строки

Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю.

6. Пропорциональные строки

Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю. Действительно, вынося коэффициент пропорциональности за знак определителя (свойство 3), получаем определитель с двумя одинаковыми строками, который равен нулю.

7. Прибавление к строке другой строки

Определитель не изменяется, если к элементам некоторой строки прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.