10. Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда.

Определение степенного ряда

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

$$\sum_{n=0}^\infty a_n (x - x_0)^n,$$

где:

• $a_n$ — числовые коэффициенты;
• $x_0$ — центр степенного ряда;
• $x$ — переменная.

В развёрнутом виде:

$$a_0 + a_1 (x - x_0) + a_2 (x - x_0)^2 + \dots$$

Для каждого фиксированного значения $x$ степенной ряд превращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться.

Область сходимости. Радиус и интервал сходимости

Для любого степенного ряда существует число $R$, $0 \le R \le \infty$, называемое радиусом сходимости, такое что:

1. При |x - x_0| < R ряд сходится абсолютно;
2. При $|x - x_0| > R$ ряд расходится;
3. При $|x - x_0| = R$ вопрос о сходимости требует отдельного исследования.

Интервал $(x_0 - R;\, x_0 + R)$ называется интервалом сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля

• Если степенной ряд сходится при некотором $x = x_1 \neq x_0$, то он абсолютно сходится при всех $x$, для которых

  |x - x_0| < |x_1 - x_0|.

• Если степенной ряд расходится при $x = x_2$, то он расходится при всех $x$, для которых

  $$|x - x_0| > |x_2 - x_0|.$$

Из этой теоремы следует существование радиуса сходимости.

Формула Коши — Адамара

Радиус сходимости можно найти по формуле

$$\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|},$$

откуда

$$R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}.$$

Принимаются соглашения: $\displaystyle \frac{1}{0} = \infty$, $\displaystyle \frac{1}{\infty} = 0$.

Если существует предел отношения соседних коэффициентов, то радиус можно вычислить проще:

$$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|.$$

Основные свойства степенных рядов

Внутри интервала сходимости $(x_0 - R;\, x_0 + R)$ степенной ряд обладает следующими свойствами:

• его сумма $f(x)$ является непрерывной функцией;
• ряд можно почленно дифференцировать;
• ряд можно почленно интегрировать;
• полученные после дифференцирования и интегрирования ряды имеют тот же радиус сходимости $R$.

Если

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x - x_0)^n,$$

то

$$f'(x) = \sum_{n=1}^\infty n a_n (x - x_0)^{n-1},$$

а почленное интегрирование даёт

$$\int f(x) \, dx = C + \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1} (x - x_0)^{n+1}.$$

Таким образом, радиус сходимости определяет область, внутри которой ряд абсолютно сходится и задаёт функцию, обладающую свойствами непрерывности и дифференцируемости. На концах интервала сходимость требуется проверять отдельно для каждого конкретного ряда.