17. Линейная зависимость и независимость системы функций

1. Линейная комбинация функций

Пусть на некотором множестве $D$ заданы функции
$f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x).$

Их рассматривают как элементы линейного пространства функций, определённых на $D$.

Линейной комбинацией функций $f_1, \dots, f_n$ называется выражение
$c_1 f_1(x) + c_2 f_2(x) + \dots + c_n f_n(x),$ где $c_1, \dots, c_n$ — постоянные числа (коэффициенты не зависят от $x$).

---

2. Линейная зависимость

Система функций $f_1, \dots, f_n$ называется линейно зависимой на множестве $D$, если существуют постоянные $c_1, \dots, c_n$, не равные нулю одновременно, такие, что
$c_1 f_1(x) + c_2 f_2(x) + \dots + c_n f_n(x) = 0 \quad \forall x \in D.$

Иными словами, линейная комбинация функций тождественно равна нулевой функции при некоторых нетривиальных коэффициентах.

Эквивалентное условие: система функций линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы одна из её функций выражается через линейную комбинацию остальных.
Например, если $c_k \neq 0$, то
$f_k(x) = -\frac{c_1}{c_k} f_1(x) - \dots - \frac{c_{k-1}}{c_k} f_{k-1}(x) - \frac{c_{k+1}}{c_k} f_{k+1}(x) - \dots - \frac{c_n}{c_k} f_n(x).$

Замечание: Если система содержит нулевую функцию, то она линейно зависима.

---

3. Линейная независимость

Система функций $f_1, \dots, f_n$ называется линейно независимой на $D$, если из тождества
$c_1 f_1(x) + c_2 f_2(x) + \dots + c_n f_n(x) = 0 \quad \forall x \in D$ следует, что
$c_1 = c_2 = \dots = c_n = 0.$

То есть нулевая функция представляется в виде линейной комбинации функций системы только тривиальным способом.

Свойства:

• Любая подсистема линейно независимой системы также линейно независима.
• Если система линейно зависима, то любая система, содержащая её, также линейно зависима.

---

4. Определитель Вронского (вронскиан)

Пусть функции $f_1, \ldots, f_n$ имеют производные до порядка $n-1$ включительно. Их определителем Вронского (или вронскианом) называется функция

$$W(f_1, \ldots, f_n)(x) = \begin{vmatrix} f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\ f_1'(x) & f_2'(x) & \cdots & f_n'(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x) \end{vmatrix}.$$

Свойства вронскиана

1. Необходимое условие линейной зависимости
   Если функции $f_1, \dots, f_n$ линейно зависимы, то
   $W(f_1, \ldots, f_n)(x) \equiv 0 \quad \text{на } D.$
   Действительно, при линейной зависимости столбцы вронскиана связаны той же нетривиальной линейной комбинацией, поэтому определитель равен нулю тождественно.

2. Достаточное условие линейной независимости
   Если существует точка $x_0 \in D$, в которой
   $W(f_1, \ldots, f_n)(x_0) \neq 0,$
   то функции $f_1, \dots, f_n$ линейно независимы.

3. Особый случай для решений линейного однородного дифференциального уравнения
   Для произвольных функций условие $W(x) \equiv 0$ не всегда означает линейную зависимость. Однако для решений одного и того же линейного однородного дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами это условие является также достаточным:
   такие решения линейно независимы тогда и только тогда, когда их вронскиан не равен нулю хотя бы в одной точке интервала.