5. Теорема Кронекера - Капелли. Общее решение системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему из $m$ линейных уравнений с $n$ неизвестными:

Ax = b,

где $A$ — матрица коэффициентов системы размера $m \times n$ ,
$x$ — столбец неизвестных размера $n \times 1$ ,
$b$ — столбец свободных членов размера $m \times 1$ .

Матрица

(A \mid b)

называется расширенной матрицей системы. Она получается добавлением столбца свободных членов $b$ к матрице коэффициентов $A$ .

Рангом матрицы называется максимальное число её линейно независимых строк (или столбцов).

Теорема Кронекера — Капелли

Система линейных уравнений совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы:

\operatorname{rank} A = \operatorname{rank} (A \mid b).

Если

\operatorname{rank} A \neq \operatorname{rank} (A \mid b),

то система несовместна и решений не имеет.

Следствия из теоремы

Пусть система совместна, и пусть

\operatorname{rank} A = \operatorname{rank} (A \mid b) = r.

Тогда возможны два случая.

1. Единственное решение

Если

r = n,

то все неизвестные являются основными, и система имеет единственное решение.

2. Бесконечное множество решений

Если

r &lt; n,

то система имеет бесконечно много решений.

В этом случае $r$ неизвестных выбираются в качестве основных, а остальные

n - r

неизвестных называются свободными.
Свободным неизвестным придают произвольные значения:

x_{r+1} = t_1, \quad x_{r+2} = t_2, \quad \ldots, \quad x_n = t_{n-r}.

После этого основные неизвестные выражаются через параметры

t_1, t_2, \ldots, t_{n-r}.

Полученные выражения образуют общее решение системы.

Структура общего решения

Общее решение неоднородной системы

Ax = b

можно представить в виде

x = x_0 + x_h,

где $x_0$ — некоторое частное решение неоднородной системы,
а $x_h$ — общее решение соответствующей однородной системы

Ax = 0.

Доказательство теоремы через линейную зависимость столбцов

Рассмотрим систему

Ax = b.

Обозначим столбцы матрицы $A$ через

A_1, A_2, \ldots, A_n.

Тогда уравнение $Ax = b$ можно записать в виде

x_1 A_1 + x_2 A_2 + \ldots + x_n A_n = b.

То есть система имеет решение тогда и только тогда, когда столбец свободных членов $b$ является линейной комбинацией столбцов матрицы $A$ .

Необходимость

Пусть система совместна, то есть существует решение

x = (x_1, x_2, \ldots, x_n).

Тогда

b = x_1 A_1 + x_2 A_2 + \ldots + x_n A_n.

Следовательно, столбец $b$ выражается через столбцы матрицы $A$ .
Поэтому добавление столбца $b$ к матрице $A$ не увеличивает число линейно независимых столбцов. Значит,

\operatorname{rank} A = \operatorname{rank} (A \mid b).

Необходимость доказана.

Достаточность

Пусть

\operatorname{rank} A = \operatorname{rank} (A \mid b).

Это означает, что добавление столбца $b$ не увеличило ранг матрицы.
Следовательно, столбец $b$ линейно выражается через столбцы матрицы $A$ :

b = x_1 A_1 + x_2 A_2 + \ldots + x_n A_n

для некоторых чисел

x_1, x_2, \ldots, x_n.

Но это равенство эквивалентно равенству

Ax = b.

Значит, существует набор неизвестных, удовлетворяющий системе. Следовательно, система совместна.

Достаточность доказана.

Итоговая формулировка

Теорема Кронекера — Капелли:
Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы коэффициентов, что равносильно равенству рангов матрицы коэффициентов и расширенной матрицы.

Таким образом, теорема Кронекера — Капелли даёт критерий совместности системы, а в случае совместности позволяет определить число решений в зависимости от соотношения ранга и числа неизвестных.