2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Метод Гаусса — это способ решения систем линейных уравнений, основанный на последовательном исключении неизвестных с помощью элементарных преобразований уравнений или строк расширенной матрицы.

Рассмотрим систему из $m$ линейных уравнений с $n$ неизвестными:

$$\begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n &= b_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n &= b_2, \\ &\dots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n &= b_m. \end{aligned}$$

Эту систему можно записать в матричном виде:

$$Ax = b,$$

где $A$ — матрица коэффициентов, $x$ — столбец неизвестных, $b$ — столбец свободных членов.

Для решения составляется расширенная матрица системы:

$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} & b_m \end{bmatrix}.$$

При применении метода Гаусса разрешены следующие элементарные преобразования строк:

1. перестановка двух строк;
2. умножение строки на любое ненулевое число;
3. прибавление к одной строке другой строки, умноженной на некоторое число.

Эти преобразования не изменяют множество решений системы.

Метод Гаусса состоит из двух этапов.

Прямой ход

На этапе прямого хода расширенная матрица приводится к ступенчатому виду. Для этого последовательно исключаются неизвестные из нижележащих уравнений.

Например, если $a_{11} \neq 0$, то для исключения переменной $x_1$ из второй строки выполняется преобразование:

$$R_2 \leftarrow R_2 - \frac{a_{21}}{a_{11}} R_1,$$

где $R_1$ и $R_2$ — первая и вторая строки матрицы.

Аналогичные действия выполняются для остальных строк. Затем исключается переменная $x_2$, после неё $x_3$ и так далее.

В результате система принимает ступенчатый вид:

$$\begin{aligned} c_{11}x_1 + c_{12}x_2 + \dots + c_{1n}x_n &= d_1, \\ c_{22}x_2 + \dots + c_{2n}x_n &= d_2, \\ &\dots \\ c_{rr}x_r + \dots + c_{rn}x_n &= d_r, \end{aligned}$$

где $r \leq \min(m, n)$, а ведущие коэффициенты $c_{ii} \neq 0$.

Обратный ход

На этапе обратного хода неизвестные находятся начиная с последнего уравнения.

Например, если последнее уравнение имеет вид

$$c_{rr} x_r = d_r,$$

то

$$x_r = \frac{d_r}{c_{rr}}.$$

Найденное значение подставляется в предыдущее уравнение. Далее последовательно определяются остальные неизвестные.

В процессе решения возможны три случая.

• Если возникает противоречивое уравнение

  $$0 = c, \quad c \neq 0,$$

  то система несовместна и не имеет решений.

• Если каждая неизвестная является ведущей (то есть $r = n$), система имеет единственное решение.

• Если имеются свободные неизвестные (то есть r < n), остальные неизвестные выражаются через них. В этом случае система имеет бесконечно много решений.

Таким образом, метод Гаусса позволяет определить совместность системы, установить количество решений и найти общее или единственное решение системы линейных уравнений.