11. Линейные пространства. Основные определения (линейной независимости, базиса, размерности пространства, подпространства).

1. Линейное пространство

Множество $V$ называется линейным пространством над числовым полем $K$, если для его элементов определены операции сложения и умножения на число, и выполняются следующие свойства (аксиомы) для любых $x, y, z \in V$ и любых $\alpha, \beta \in K$:

• $x + y = y + x$ (коммутативность);
• $(x + y) + z = x + (y + z)$ (ассоциативность);
• существует нулевой вектор $0 \in V$, такой что $x + 0 = x$;
• для каждого $x$ существует противоположный $-x$, такой что $x + (-x) = 0$;
• $\alpha (x + y) = \alpha x + \alpha y$;
• $(\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$;
• $\alpha (\beta x) = (\alpha \beta) x$;
• $1 \cdot x = x$.

Элементы $V$ называются векторами, элементы поля $K$ — скалярами.

2. Линейная комбинация и линейная оболочка

Пусть даны векторы $x_1, x_2, \dots, x_n \in V$. Вектор вида

$$\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \dots + \alpha_n x_n, \quad \alpha_i \in K,$$

называется линейной комбинацией этих векторов.

Множество всех линейных комбинаций данных векторов называется их линейной оболочкой и обозначается

$$\operatorname{span}(x_1, \dots, x_n).$$

3. Линейная зависимость и независимость

Система векторов $x_1, \dots, x_n$ называется линейно зависимой, если существуют числа $\alpha_1, \dots, \alpha_n$, не все равные нулю, такие что

$$\alpha_1 x_1 + \dots + \alpha_n x_n = 0.$$

Система называется линейно независимой, если равенство

$$\alpha_1 x_1 + \dots + \alpha_n x_n = 0$$

выполняется только при $\alpha_1 = \dots = \alpha_n = 0$ (т.е. нулевой вектор представляется только тривиальной линейной комбинацией).

Очевидносистема линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один её вектор выражается как линейная комбинация остальных.

4. Базис линейного пространства

Система векторов $e_1, e_2, \dots, e_n$ называется базисом пространства $V$, если:

1. она линейно независима;
2. любой вектор $x \in V$ выражается через них как линейная комбинация:

$$x = x_1 e_1 + x_2 e_2 + \dots + x_n e_n.$$

Числа $x_1, \dots, x_n$ называются координатами вектора $x$ в данном базисе.

Единственность представления

Представление вектора через базис единственно.
Действительно, если

$$x = \alpha_1 e_1 + \dots + \alpha_n e_n = \beta_1 e_1 + \dots + \beta_n e_n,$$

то вычитая, получаем

$$(\alpha_1 - \beta_1) e_1 + \dots + (\alpha_n - \beta_n) e_n = 0.$$

Из линейной независимости базисных векторов следует $\alpha_i = \beta_i$ для всех $i$.

5. Размерность линейного пространства

Количество векторов в базисе называется размерностью пространства:

$$\dim V = n.$$

Все базисы конечномерного пространства содержат одинаковое число векторов. Пространство называется конечномерным, если оно имеет базис из конечного числа векторов; в противном случае — бесконечномерным.

В пространстве размерности $n$:

• любая система из более чем $n$ векторов линейно зависима;
• любая линейно независимая система содержит не более $n$ векторов;
• любая линейно независимая система из $n$ векторов является базисом.

6. Линейное подпространство

Непустое подмножество $W \subseteq V$ называется линейным подпространством пространства $V$, если оно само является линейным пространством (относительно тех же операций).

Размерность подпространства не превосходит размерности исходного пространства:

$$\dim W \le \dim V.$$

Если $\dim W = \dim V$, то $W = V$ (в конечномерном случае).