1. Комплексные числа - определения и алгебраические действия. Тригонометрическаяформа комплексного числа

Рассмотрим множество упорядоченных пар $z = (x,y)$ действительных чисел $x, y.$ На этом множестве введем операции, превращающие его в поле. Обозначим это поле $\mathbb{C}$ и назовем полем комплексных чисел.

Операции введем следующим образом:

cумма:  $z1+z2=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)$,

произведение: $z_1 z_2 = (x_1,y_1)(x_2,y_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2,\; x_1 y_2 + x_2 y_1)$, элемент $(0,0)$ — нейтральный по сложению, элемент $(1,0)$ — нейтральный по умножению.

Особую роль играет комплексное число $(0,1)$, которое обозначают $i$ и называют мнимой единицей.

Согласно введенным операциям
$i^2=(0,1)(0,1)=−1$, $(y,0)=(0,1)(y,0)=(0,y)$

Каждую упорядоченную пару вида $(x,0)$ можно отождествить с действительным числом $x$. Каждую упорядоченную пару $(x,y)$ можно представить в виде

$z = (x,y) = (x,0) + (0,y) = (x,0) + (0,1) (y,0) = x +iy$

Таким образом для комплексного числа $z=(x,y)$ получаем другую форму записи $z=x+iy$. Это называется алгебраической формой комплексного числа.

Известно, что на декартовой плоскости упорядоченной паре соответствует точка. Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и установим взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками плоскости, при котором комплексному числу $z=x+iy$ отвечает точка $M$ с координатами $x,y$. Точку $M$ мы рассматриваем как изображение комплексного числа $z=x+iy$.

При этом множество всех вещественных чисел изображается осью абсцисс, называемой поэтому вещественной осью, множество всех чисто мнимых чисел лежит на оси ординат, называемой мнимой осью. Плоскость $XOY$, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Термины «комплексное число $z$» и «точка $z$ на комплексной плоскости» употребляются как синонимы.

Комплексное число $z=x+iy$ может также изображаться вектором с проекциями $x$ и $y$ на координатные оси, который, таким образом, равен радиус-вектору точки $z$. Иногда термины «комплексное число» и «вектор» употребляют также как синонимы.

Именно поэтому, глядя на координатную плоскость, естественно сделать вывод, что комплексные числа невозможно сравнивать, т.е. нельзя говорить, что какое-то комплексное число больше или меньше другого.

Комплексное число равное сумме или разности двух комплексных чисел $z_1±z_2$ соответствует вектору на комплексной плоскости, который получится при сложении/вычитании векторов, соответствующих числам $z_1$ и $z_2$. Для произведения $z_1⋅z_2$ этой аналогии уже не будет.

Напомним, что в полярных координатах точка $M$ имеет координаты $(r,φ)$. В нашем случае полярные координаты имеют следующий смысл:

• полярный радиус (или длина вектора) называется модулем комплексного числа $z=x+iy$ и вычисляется по формуле  $r = |z| = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{z\bar{z}}$

• полярный угол $φ$ (угол между положительным направлением оси $OX$ и отрезком $OM$) называется аргументом комплексного числа $z$ и обозначается $φ=Arg(z)$. 

Модуль и аргумент - две важнейшие характеристики комплексного числа.

Условия равенства двух комплексных чисел $z1$ и $z2$ - равенство их модулей: $|z_1|=|z_2|$ и аргументов: $Arg(z_1)=Arg(z_2)$.

Особый разговор об аргументе

Угол $φ=Arg(z)$ - аргумент комплексного числа $z=x+iy$. Этот угол, изменяясь от положительного направления оси $OX$ против часовой стрелки, увеличивается до $2π$, а далее его величины повторяются. Поэтому аргумент комплексного числа бесконечнозначен, так как все его значения отличаются друг от друга на слагаемые, кратные $2π$.

Аргумент $φ$ определяется из формул ${x=rcosφ,y=rsinφ}$ с точностью до слагаемого $2πk: Arg(z)=arg(z)+2πk,k=0,±1,±2,…$  Из множества значений аргумента особо выделяется главное значение $arg(z)$, удовлетворяющее неравенству $−π<arg(z)≤π$

Кроме алгебраической формы $z=x+iy$ часто используют другие формы. Применяя формулы для вычисления $x, y$ через $r, φ$, находим $z=rcos φ+irsin φ$ или $z=r(cosφ+isinφ)$, что является тригонометрической формой записи комплексного числа.