19. Системы линейных однородных уравнений. Свойства решений. Фундаментальная матрица.

1. Система линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка

Рассмотрим систему $n$ линейных однородных уравнений первого порядка:

$$\begin{cases} y_1' = a_{11}(x)y_1 + \cdots + a_{1n}(x)y_n, \\ y_2' = a_{21}(x)y_1 + \cdots + a_{2n}(x)y_n, \\ \vdots \\ y_n' = a_{n1}(x)y_1 + \cdots + a_{nn}(x)y_n, \end{cases}$$

где коэффициенты $a_{ij}(x)$ непрерывны на некотором интервале $I$.

Матричная форма

Введём вектор-столбец неизвестных функций

$$Y(x) = \begin{pmatrix} y_1(x) \\ \vdots \\ y_n(x) \end{pmatrix}$$

и матрицу коэффициентов

$$A(x) = (a_{ij}(x))_{i,j=1}^n.$$

Тогда система записывается компактно:

$$\boxed{Y'(x) = A(x)Y(x)}.$$

---

2. Решение системы

Вектор-функция $Y(x)$, имеющая непрерывную производную на интервале $I$ и удовлетворяющая системе $Y' = A Y$ для всех $x \in I$, называется решением системы.

---

3. Свойства решений (линейность, пространство решений)

Поскольку система линейна и однородна, выполняется принцип суперпозиции:

Если $Y_1(x)$ и $Y_2(x)$ — решения, а $C_1, C_2$ — произвольные постоянные, то

$$Y(x) = C_1 Y_1(x) + C_2 Y_2(x)$$

также является решением. Действительно,

$$Y' = C_1 Y_1' + C_2 Y_2' = C_1 A Y_1 + C_2 A Y_2 = A(C_1 Y_1 + C_2 Y_2) = A Y.$$

Следовательно, множество всех решений образует линейное пространство.

Размерность пространства решений

Для любой начальной точки $x_0 \in I$ и любого постоянного вектора $Y_0 \in \mathbb{R}^n$ задача Коши

$$Y' = A(x)Y, \qquad Y(x_0) = Y_0$$

имеет единственное решение.
Из этого вытекает, что размерность пространства решений равна $n$ (числу уравнений).

Следствие: Если некоторое решение обращается в нуль в одной точке: $Y(x_0) = 0$, то оно тождественно равно нулевому вектору на всём интервале $I$ (в силу единственности решения задачи Коши с нулевым начальным условием).

---

4. Фундаментальная система решений (ФСР)

Набор из $n$ решений

$$Y_1(x), Y_2(x), \dots, Y_n(x)$$

называется фундаментальной системой решений, если эти вектор-функции линейно независимы на интервале $I$.

Линейная независимость означает, что из тождества

$$C_1 Y_1(x) + C_2 Y_2(x) + \cdots + C_n Y_n(x) = 0 \quad \forall x \in I$$

следует

$$C_1 = C_2 = \cdots = C_n = 0.$$

Любое решение системы единственным образом представляется в виде линейной комбинации фундаментальной системы:

$$Y(x) = C_1 Y_1(x) + \cdots + C_n Y_n(x).$$

---

5. Фундаментальная матрица

Матрица, столбцами которой являются решения $Y_1(x), \dots, Y_n(x)$:

$$\Phi(x) = \begin{pmatrix} y_{11}(x) & y_{12}(x) & \dots & y_{1n}(x) \\ y_{21}(x) & y_{22}(x) & \dots & y_{2n}(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_{n1}(x) & y_{n2}(x) & \dots & y_{nn}(x) \end{pmatrix} = \bigl( Y_1(x) \; Y_2(x) \; \cdots \; Y_n(x) \bigr),$$

называется фундаментальной матрицей, если её столбцы образуют фундаментальную систему решений.

Свойства фундаментальной матрицы

1. Она удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению

$$\Phi'(x) = A(x) \Phi(x).$$

2. Столбцы матрицы $\Phi(x)$ линейно независимы тогда и только тогда, когда

$$\det \Phi(x) \neq 0.$$

3. Определитель фундаментальной матрицы называется вронскианом системы. Для него справедлива формула Лиувилля (Остроградского–Лиувилля):

$$\boxed{\det \Phi(x) = \det \Phi(x_0) \cdot \exp\left( \int_{x_0}^{x} \operatorname{tr} A(t) \, dt \right) },$$

где $\operatorname{tr} A$ — след матрицы $A$ (сумма диагональных элементов).

Из этой формулы следует, что определитель фундаментальной матрицы либо нигде не обращается в нуль на $I$, либо тождественно равен нулю на всём интервале.

---

6. Общее решение системы

Если $\Phi(x)$ — фундаментальная матрица, то общее решение системы записывается в виде

$$\boxed{Y(x) = \Phi(x) \, C},$$

где $C = (C_1, \dots, C_n)^\top$ — произвольный постоянный вектор-столбец.

---

7. Нормированная фундаментальная матрица

Фундаментальная матрица, удовлетворяющая условию

$$\Phi(x_0) = E,$$

где $E$ — единичная матрица $n \times n$, называется нормированной в точке $x_0$.

Для системы с постоянной матрицей $A$ (т.е. $A(x) \equiv A$) нормированная фундаментальная матрица имеет вид

$$\boxed{\Phi(x) = e^{A(x - x_0)}}.$$

Экспонента матрицы определяется через степенной ряд:

$$e^{A t} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k t^k}{k!}.$$