3. Матрицы - основные определения и операции

Матрицей размера $m \times n$ называется прямоугольная таблица чисел, содержащая $m$ строк и $n$ столбцов:

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}.$$

Числа $a_{ij}$ называются элементами матрицы, где индекс $i$ обозначает номер строки, а индекс $j$ — номер столбца.

Матрицы $A$ и $B$ называются равными, если они имеют одинаковый размер и все соответствующие элементы равны:

$$A = B \iff a_{ij} = b_{ij} \quad \text{для всех } i,j.$$

---

Основные виды матриц

• Матрица-строка — матрица, содержащая одну строку.
• Матрица-столбец — матрица, содержащая один столбец.
• Квадратная матрица — матрица размера $n \times n$.
• Нулевая матрица — матрица, все элементы которой равны нулю.
• Диагональная матрица — квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.
• Единичная матрица $E$ — диагональная матрица, все элементы главной диагонали которой равны единице:

$$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}.$$

---

Основные операции над матрицами

1. Сложение и вычитание

Складывать и вычитать можно только матрицы одинакового размера. Операции выполняются поэлементно:

$$A + B = C, \qquad c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}.$$

Аналогично для вычитания:

$$A - B = C, \qquad c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}.$$

2. Умножение матрицы на число

При умножении матрицы $A$ на число $\lambda$ каждый её элемент умножается на это число:

$$\lambda A = (\lambda a_{ij}), \qquad (\lambda A)_{ij} = \lambda a_{ij}.$$

3. Умножение матриц

Произведение матриц $A$ и $B$ существует, если число столбцов матрицы $A$ равно числу строк матрицы $B$.

Если

$$A_{m \times n}, \quad B_{n \times k},$$

то произведение имеет размер

$$AB = C_{m \times k}.$$

Элемент произведения вычисляется по формуле:

$$c_{ij} = \sum_{r=1}^{n} a_{ir} b_{rj}.$$

Иными словами, элемент $c_{ij}$ получается умножением элементов $i$-й строки первой матрицы на соответствующие элементы $j$-го столбца второй матрицы и сложением полученных произведений.

В общем случае умножение матриц некоммутативно:

$$AB \neq BA.$$

При этом выполняется свойство ассоциативности:

$$(AB)C = A(BC).$$

4. Транспонирование

Транспонированной матрицей $A^T$ называется матрица, полученная заменой строк исходной матрицы её столбцами:

$$(A^T)_{ij} = a_{ji}.$$

Для транспонирования выполняются свойства:

$$(A^T)^T = A,$$ $$(A + B)^T = A^T + B^T,$$ $$(AB)^T = B^T A^T.$$

---